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#1
14.08.2023, 14:44
#2
18.08.2023, 09:11
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Mir ist jetzt eine allgemeine Vermutung klar geworden.
Betrachtet wird ein System, was auf ungeraden Zahlen k(1), k(2), ... k(s) basiert. Dabei ist s eine natürliche Zahl ungleich 0. Es wird bei einer ungeraden natürlichen Zahl n losgerechnet. Jede Runde hat s Etappen. 1. Aus n wird k(1)*n +1. Dann wird runterhalbiert. 2. Sei m das Ergebnis der vorherigen Etappe. Bilde k(2)*m +1 und halbiere dann runter. ... Etappe s: Sei r das Ergebnis der vorherigen Etappe. Bilde k(s)*r + 1 und halbiere runter. Das Ergebnis ist der Ausgangswert der nächsten Runde. Sei B= k(1) * k(2) * ... * k(s). Der entscheidende Wert ist jetzt C = B / (4^s). Vermutung: Ist C < 1, läuft jeder Startwert in einen von endlich vielen Zykeln. Ist C > 1, läuft fast jeder Startwert (im Sinne von asymptotischer Dichte 1) nach unendlich. C=1 kann nicht vorkommen, da B ungerade sein muss. Begründung: Runterhalbieren besteht im Durchschnitt aus zwei Schritten. Gleichzeitig wird in einer Etappe mit k(i) multippliziert. Also liefert die Etappe im Schnitt Faktor k(i) / 4. Beispiele: s=1 und k(1)=3 ist der klassische Collatz-Fall. s=2 und k(1)=3, k(2)=5 steht oben im Thread, von Gilgamesch gerechnet. Allgemein dürften Instanzen mit kleinem C-Wert schnelles Abstürzen in die Zykel geben, und C-Werte nahe 1 ganz langsames. Ein vermutetes Beispiel mit sehr hohen Zwischenwerten s=3, k= (3,3,7). Dafür ist der C-Wert 3*3*7 / 64 = 63/64. Viele Grüße, Ingo.
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Fließendes Wasser kennt keinen Kampf (Takagawa Kaku; alter Go-Meister) 
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#3
18.08.2023, 23:04
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Ingo,
die Vermutung ist wohl genau so richtig. Ich hatte gewisse Schwierigkeiten bei der Berechnung von (3,3,7) und mußte auf einen unsigned Integer Wert mit 256 Bit wechseln. Auf jeden Fall scheinen alle Werte in einen Zyklus mit einem kleinem Fixpunkt zu laufen. Die höchsten Werte können aber gelegentlich sehr groß werden, bei dem Startwert 2799 ist selbst mit 256 Bit Schluss. Einige Beispiele, Spalten: - Startwert - Runden zum Erreichen des Fixpunktes (stimmt nur ungefähr) - Schritte zum Erreichen des Fixpunktes (stimmt nur ungefähr) - Fixpunkt (kleinster vorkommen Wert der sich wiederholt) - Höchster vorkommender Wert Code:
1 2 10 1 8
3 2 14 1 16
5 2 12 1 16
7 8 62 15 7680
9 4 25 39 624
11 4 28 35 372
13 2 16 1 40
15 7 56 23 7680
17 5 35 39 624
19 4 26 39 624
21 2 14 1 64
23 3 20 35 372
25 3 23 29 232
27 3 23 31 328
29 8 64 15 7680
31 11 91 15 7680
...
199 219 1968 1 30143685317248
201 41 363 15 1257744720
203 6 53 29 1604
205 3 26 29 616
207 43 381 15 1257744720
209 44 390 15 1257744720
211 223 2004 1 30143685317248
...
473 19 168 35 397524
475 6 51 43 5620
477 10 93 1 110132
479 1507 13525 15 5633474152358653058455030362573301198800
481 11 95 15 7680
483 8 68 15 7680
485 8 68 15 7680
...
1649 3 29 29 4948
1651 7 65 29 7432
1653 4 38 29 4960
1655 5688 51062 35 532883555724939922698357411067488379361088412281800423855405840357376
1657 4 38 29 13056
1659 221 1989 1 562413204037782208
1661 276 2477 35 34810817575894536
1663 96 864 29 322328464
...
1961 21 188 35 397524
1963 9 79 15 15464
1965 9 79 15 7680
1967 5159 46312 15 141331469837768875083859002482956122113450198439139246988547504397056
1969 9 79 15 7680
1971 9 79 15 8872
1973 9 79 15 7680
1975 110 987 35 543379976224
1977 1509 13545 15 5633474152358653058455030362573301198800
1979 12 113 1 346240
1981 22 197 35 397524
1983 22 197 35 397524
1985 13 115 15 8800
...
2787 4 33 43 12544
2789 34 311 1 29812096
2791 34 311 1 29812096
2793 34 311 1 29812096
2795 4 33 43 22016
2797 45 404 35 2569008
2799 Overflow
Thomas
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dreihirn (19.08.2023), Wandersleben (19.08.2023) | ||
#4
19.08.2023, 10:40
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Thomas,
danke für das Rechnen.  Zitat von Gilgamesch
...
Die höchsten Werte können aber gelegentlich sehr groß werden, bei dem Startwert 2799 ist selbst mit 256 Bit Schluss. ... 1655 5688 51062 35 53288355572493992269835741106748837936108841228180 0423855405840357376 1657 4 38 29 13056 1659 221 1989 1 ... Und daneben dann so bescheidene Verläufe für 1657 und 1659.. Dank und Gruß, Ingo.
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#5
19.08.2023, 17:58
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Anbei ein Zip File mit der langen 1655 - (3,3,7) Folge.
Etwas Auffälliges ausser der Länge kann ich nicht erkennen.
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dreihirn (20.08.2023), Wandersleben (19.08.2023) | ||
#6
20.08.2023, 09:29
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Thomas,
danke für die Daten. Zitat von Gilgamesch
Etwas Auffälliges ausser der Länge
kann ich nicht erkennen. drei Screenshots gemacht: vom Anfang der Folge, irgendwo aus der Mitte, und am Schluss. Natürlich erkennt man da die Ziffern nicht mehr, aber die Längen der Zahlen. Man sieht die Ähnlichkeit zu einem Casino mit "positivem Erwartungswert", wo in jeder Runde log(3) bzw log(7) zu zahlen ist und dann zufällig ein Gewinn von log(2) oder 2*log(2) oder 3*log(2) oder ... ausgezahlt wird, so ähnlich wie bei den Gewinnleitern der Gauselmann-Geldautomaten. (Wobei natürlich die Gauselmann-Automaten aus Sicht der Spieler einen negativen Erwartungswert haben.) Die große Länge der Folge zeigt, dass man auch bei gutem Erwartungswert (hier 63/64 < 1) manchmal lange Durststrecken überwinden muss, eher man wirklich ins Plus kommt. Dank und Gruß, Ingo.
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#7
20.08.2023, 18:38
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Jetzt werden die Zahlen wirklich groß.
Ich hatte schon länger nach einer C++ Library gesucht, die beliebig große natürliche Zahlen zulässt und endlich eine nicht zu komplexe Implementierung gefunden. Damit habe ich die Overflows der 256 Bit Variante (3,3,7) nochmal überprüft. Ergebnis: Code:
Startwert: 2799 Runden: 14966 Schritte: 134261 Fixpunkt: 1 Höchster Wert: 4576380734615710479690106325689609211241863537762981964042455051075724332822215383625091530700741156 546681974982555045360453632 (127 Stellen) Code:
Startwert: 14975 Runden: 51639 Schritte: 463293 Fixpunkt: 35 Höchster Wert: 9989323727783341288713747130739468253471810232357536641687347870748657993683879904466884139557940582 5553160183246255023839530657063922381301089297022146122314293811553434648714267582962923939302464618 9655985406114827467681702953665986109731506425351328900741453810959854609376 (276 Stellen) Thomas
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#8
20.08.2023, 21:52
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Thomas,
abgefahren! Wenn das der alte Collatz noch erlebt hätte. Zitat von Gilgamesch
Code:
Startwert: 2799 Runden: 14966 Schritte: 134261 Code:
Startwert: 14975 Runden: 51639 Schritte: 463293 Bei 2799 ist er 8,971; bei 14975 ist er 8,972. 8,97 circa= 9, und das passt gut. In jeder Runde drei *-Schritte und durchschnittlich sechs Halbierungen. Mit Dank und Gruss, Ingo.
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Gilgamesch (21.08.2023), Wandersleben (20.08.2023) | ||
#9
20.08.2023, 22:06
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Zitat von Gilgamesch
Code:
Startwert: 14975 Runden: 51639 Schritte: 463293 Fixpunkt: 35 Höchster Wert: 9989323727783341288713747130739468253471810232357536641687347870748657993683879904466884139557940582 5553160183246255023839530657063922381301089297022146122314293811553434648714267582962923939302464618 9655985406114827467681702953665986109731506425351328900741453810959854609376 (276 Stellen) Mathematik von ihrer schönsten seite! Viele grüße Horst
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dreihirn (21.08.2023), Gilgamesch (21.08.2023) | ||
#10
21.08.2023, 04:43
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Horst, hallo Thomas,
Zitat von Wandersleben
Vielen dank, Thomas!
Mathematik von ihrer schönsten seite! Form 2^m - 1 habe ich bisher größere Zahlen erlebt. Vielleicht liefert folgende Variante des Collatz-Problems noch grössere Zahlen für kleine Startwerte: n+1 / 3n+1 / 5n+1 / 17n+1 dazwischen jeweils runterhalbieren. Also hat jede Runde vier Etappen. Der Clou ist das Produkt 1*3*5*17 = 255. 255 / (4^4) = 255 / 256, also nur ganz knapp unter 1. Spekulation: Es sollte 3- oder 4-stellige Startwerte im Dezimalsystem geben, bei denen zwar Konvergenz eintritt, aber zwischendurch mit 400-stelligen Werten. Viele Grüße, Ingo.
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