#1
31.07.2023, 13:15
#2
31.07.2023, 16:36
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Naja... wenn das Problem "härter" ist als das normale 3n+1 Problem (auch als Collatz-Problem bekannt) dann wird das wohl kaum einer lösen können. Selbst das Collatz-Problem selbst hat sich einer endgültigen Lösung bisher entzogen und gilt als eines der ungelösten Probleme der Mathematik.
Meines Wissens gibt es bisher nur eine Teillösung von Terence Tao. https://arxiv.org/abs/1909.03562 Damit hat er sich dem Ursprungsproblem zwar angenähert, aber auch keine endgültige Lösung geliefert. Insofern dürfte auch die Erweiterung des Problems derzeit eher in die Kategorie "unlösbar" fallen.
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Mein Profil beim ICCF (International Correspondence Chess Federation) https://www.iccf.com/player?id=89948&tab=3 
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#3
31.07.2023, 16:49
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Hartmut,
 Zitat von Hartmut
Naja... wenn das Problem "härter" ist als das
normale 3n+1 Problem (auch als Collatz-Problem bekannt) dann wird das wohl kaum einer lösen können. Vielmehr spekuliere ich, dass es trotz 15/16 < 1 vielleicht Startwerte gibt, die ins Unendliche laufen oder zumindest sehr gross werden. Das würde dann den bei vielen vorhandenen Glauben erschüttern, dass alles nur von den Erwartungswerten (also 3/4 < 1 ...) abhängt. Zitieren:
Meines Wissens gibt es bisher nur eine Teillösung von Terence Tao.
https://arxiv.org/abs/1909.03562 folgende von mir, bei der Zufall im Spiel ist: Zu der aktuellen Zahl n bildet man entweder 3n+1 oder 3n-1 oder 3n+3 oder 3n-3, und zwar jeden der Werte mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/4, unabhängig von früheren Interationen. Dann halbiert man, bis man wieder ungerade ist. Das Ganze endet, wenn man bei 0 oder 1 landet. Ich habe einen Beweis, dass man für jeden ungeraden Startwert n(0) mit Wahrscheinlichkeit 1 bei 0 oder 1 landet. ******************************************* Hier ist eine einfachere Variante, ein dreistufiges Prinzip: Aus n wird 3n+1, dann halbieren dann wieder 3n+1, wieder halbieren dann n+1, wieder halbieren Man beweise, dass damit dadurch von allen Startwerten aus zu ganz kleinen Werten gelangt. Das ist plausibel, aber nicht trivial, weil 3*3*1 = 9 > 8 =2*2*2 Im schlimmsten Fall steigt man also mit ganz vielen 9/8-Schritten nach unendlich auf. In der Notation aus dem Threadtitel ist das das 3n+1 / 3n+1 / n+1 Problem. Viele Grüße, ingo.
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Fließendes Wasser kennt keinen Kampf (Takagawa Kaku; alter Go-Meister)
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Hartmut (31.07.2023) | ||
#4
31.07.2023, 17:32
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hi Ingo
Auf jeden Fall ein interessantes Problem. Ich bin zum ersten Mal in meiner Studienzeit da drauf gestoßen. Das gemeine an der Sache ist, dass es auf den ersten Blick nach einer Aufgabe aussieht, die eigentlich nach einer Lösung mittels vollständiger Induktion schreit... naja... leider nur auf den ersten Blick, aber als Erstsemester hab ich tatsächlich geglaubt, es ginge so oder ähnlich. Mal sehen. Wenn ich Zeit habe, probiere ich mit dem Rechner mal aus was da so geht...
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Mein Profil beim ICCF (International Correspondence Chess Federation) https://www.iccf.com/player?id=89948&tab=3
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#5
01.08.2023, 17:59
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Ingo,
Ich fand es ganz interessant, das mal auf die Schnelle zu programmieren. Die Ergebnisse in der Liste fand ich teilweise etwas unintuitiv, vielleicht kannst du etwas dazu sagen. - Kein Startwert divergiert (In den ersten Millionen) - Jeder Startwert endet in einem Zyklus der entweder 5 oder 7 enthält. - Nur sehr wenige Startwerte werden auf sich selbst abgebildet, aber auch diese Zyklen enthalten immer 5 oder 7. - Ein wiederholter Startwert bedeutet keinen Zyklus, da für jede Zahl 2 Nachfolge Zahlen möglich sind. (?) - Ab dem Startwert 22893989 sind auch nach längerer Berechnung keine Neuen mehr erschienen, die auf sich selbst abgebildet werden. Hier eine Tabelle: 1. Startwert 2. Anzahl Durchgänge bis zur Wiederholung 3. Anzahl Durchgänge bis zum ersten Mal 5 oder 7 erscheint. 4. Die höchste vorkommende Zahl. Code:
5 10 10 40
7 7 7 56
9 7 4 36
13 7 5 40
95 1882 1895 2958675001976
179 1882 1890 2958675001976
6845 358 643 1343513920
8717 358 602 1343513920
12655 358 706 12477404903396
18595 358 609 1343513920
19177 358 1436 2958675001976
20455 358 1442 2958675001976
21155 358 621 1343513920
23729 358 701 12477404903396
30965 358 403 3351547840
71915 358 1432 2958675001976
2210633 358 1410 78373215640
2581085 358 1638 2958675001976
4324303 358 735 1343513920
4920095 358 747 1343513920
8108069 358 730 1343513920
9225179 358 742 1343513920
12210127 358 1442 78373215640
13024135 358 1448 78373215640
22893989 358 1437 78373215640
Thomas
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dreihirn (01.08.2023), Wandersleben (01.08.2023) | ||
#6
01.08.2023, 18:32
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Thomas,
danke für Dein Rechnen. Irgendwie scheinen wir verschiedene Notationen zu haben. Bei mir ist "*3+1, halbhalb..., *5+1, halbhalb..." eine Runde. Da gibt es drei kurze Zyklen mit nur einer Runde: 7 -> 22-11 -> 56-7 9 -> 28-7 -> 36-9 13 -> 40-5 -> 26-13 Du scheinst einen weiteren Zyklus gefunden zu haben, der in Deiner Notation Länge 358 hat. Wie sieht der denn aus? Und in was läuft die "komische" 95 hinein? ************************************** Eine Frage: Welche Arithmetik nutzt Du? Wie gehst Du mit drohenden Overflows um? Jürgen Dankert hat nicht für ganze Zahlen eine Speicherzelle spendiert, sondern für jede Dezimalstelle einer Zahl. Addieren und Multiplizieren tut er wie in Schulklasse 3 und 4. Viele Grüße, Ingo.
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Fließendes Wasser kennt keinen Kampf (Takagawa Kaku; alter Go-Meister)
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#7
01.08.2023, 18:39
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Zitat von Gilgamesch
- Ein wiederholter Startwert bedeutet keinen Zyklus, da für jede Zahl 2 Nachfolge Zahlen möglich sind. (?)
das fragezeichen kannst du weglassen, eine wiederholte zahl kann ja einmal bei 3n+1 und dann auch bei 5n+1 auftauchen, die fortsetzung ist also nicht identisch. Danke für deine schnelle programmierung des problems. Kannst du eventuell eine datei anbieten, die einige durchgerechnete zahlenreihen wiedergibt? Viele grüße Horst
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#8
01.08.2023, 21:07
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo zusammen,
anbei eine Tabelle mit erweiterter Ausgabe: 1. Startwert 2. Anzahl aller Veränderungen des Wertes bis zur Wiederholung 3. Anzahl aller Veränderungen des Wertes bis zum ersten Mal 5 oder 7 erscheint. 4. Anzahl der Runden: "*3+1, halbhalb..., *5+1, halbhalb..." 5. Die höchste vorkommende Zahl. Code:
5 10 10 1 16
7 7 7 1 56
95 1882 1895 320 2958675001976
179 1882 1890 319 2958675001976
6845 358 643 107 1343513920
8717 358 602 100 1343513920
12655 358 706 117 12477404903396
18595 358 609 101 1343513920
19177 358 1436 241 2958675001976
20455 358 1442 242 2958675001976
21155 358 621 103 1343513920
23729 358 701 116 12477404903396
30965 358 403 66 3351547840
71915 358 1432 240 2958675001976
2210633 358 1410 235 78373215640
2581085 358 1638 274 2958675001976
4324303 358 735 121 1343513920
4920095 358 747 123 1343513920
8108069 358 730 120 1343513920
9225179 358 742 122 1343513920
12210127 358 1442 240 78373215640
13024135 358 1448 241 78373215640
22893989 358 1437 239 78373215640
Ich nutze Integer Arithmetik, uint64_t entspricht unsigned integer 64 bit. Overflows checke ich, indem ich überprüfe ob ich in der Nähe des maximalen 64 bit unsigned Integers bin: 18446744073709551615 Zur Zeit ist die Berechnung davon noch weit entfernt. Die 95 wiederholt sich nach 320 Runden oder 1882 Veränderungen. Das Ende (1. Counter, 2. Wert) sieht so aus (ab 0): 1881 95 1882 476 1883 238 1884 119 1885 358 1886 179 1887 896 1888 448 1889 224 1890 112 1891 56 1892 28 1893 14 1894 7 Angehängt habe ich die Datei 95.txt Viele Grüße, Thomas
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| Folgende 2 Benutzer sagen Danke zu Gilgamesch für den nützlichen Beitrag: | ||
dreihirn (01.08.2023), Wandersleben (01.08.2023) | ||
#9
01.08.2023, 21:39
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Zitat von Gilgamesch
Angehängt habe ich die Datei 95.txt
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#10
01.08.2023, 21:52
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Thomas,
danke für die erweiterten Daten. Zitat von Gilgamesch
...
Die 95 wiederholt sich nach 320 Runden oder 1882 Veränderungen. Das Ende (1. Counter, 2. Wert) sieht so aus (ab 0): 1881 95 1882 476 ... wird *5 +1 genommen). > ...1893 14 > 1894 7 Es landet also in der "Fixrunde 7". Viele Grüße, Ingo.
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